欧老师和小学生谈数学

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欧老师和小学生谈数学

大家好！在上一期《乡村少年》中欧老师回答了一些同学在数学学习中遇到的具体问题，比如粗心大意和不同题型的解法。这一次，我想和大家一起来思考一个更大的问题：我们为什么要学数学？

数学的起源

请大家把双手摊开，数一数我们一共有几个手指？对，我们都有十个手指。再想一想总共有几个阿拉伯数字呢？0、1、2、3、...、9，也是十个，这就是传说中的“十进制”。大家也许要问，难道数字和我们的双手有什么神秘的联系吗？



不同的早期人类文明确实使用过多种计数方法，例如古巴比伦的六十进制：



美洲的玛雅文明采用二十进制；中国的算盘上方的算珠代表5，下面有五个代表1的算珠，逢十进一；更著名的当然是由古代印度人发明，经过阿拉伯人传遍全世界的十进制阿拉伯数字。



大家仔细留意就会发现在巴比伦的六十进制中隐藏了一个貌似“<”的符号，它代表10。而在玛雅的二十进制和中国的算盘上，5都扮演了非常重要的角色。为什么绝大多数彼此独立发展起来的文明在计数的时候都不约而同地包含了“一五一十”的十进制呢？

一个非常有说服力的假说这样解释这个现象：原始人在日常生活中经常需要统计猎物或采集果实的数量，数学中最基本的“数字”概念就起源于计数的需要。如果大家还记得自己刚开始数数时的情况，马上就会想到扳手指头是最现成的办法，手指不够用就拿石块代表，甚至还可以加上脚趾头。所以手指头的个数就决定了为什么人类总是以五、十的倍数来进位。

数学中另一个基本概念是“几何形体”，就是老师常常说的“点线面体”。几何学的英文geometry从词根上讲是由“土地”和“测量”这两个部分拼起来的。起初是丈量土地的需要，而后是对各种物体包括天文星体的尺寸、距离、大小的测量需求产生了研究点线面体性质的几何学。



俗话说“万事开头难”，我们人类从原始社会经历了茹毛饮血、刀耕火种，直到今天可以把火箭发射到宇宙深空，可以精确地控制电子的运动，可以用计算机把全世界联网。在整个人类文明的背后，数学也从原始的“结绳计数”发展到足以支撑相对论、量子力学的理论大厦。数学是人类描述和控制外部世界的工具，它虽然比较抽象，但是却和日常生活息息相关。

数学可以帮助我们解决实际生活中遇到的问题

每一道数学题都可能是一个有趣的生活问题。比如下面这一道题：妈妈要买100斤大米，但没有秤，只有能装12斤和7斤的两个桶，你有什么办法吗？

最理想的方法当然是有一把可以称重100斤以上的大秤，这样一次就搞定了。但如果只有一杆每次最多称5斤的小秤呢？乘除法知识告诉我们，每次5斤连续称20次，5 × 20 = 100斤。现在没有秤，如果我们用12斤的桶连续装8桶，是12 × 8 = 96斤。剩下4斤怎么解决呢？如果把7斤米倒入12斤的桶，它剩下的空间就只能装5斤了，再装满7斤桶往里倒，最后就会余下2斤。这样重复两遍我们就能得到最后所需的4斤米。一个貌似没有头绪的实际问题，运用简单的加减乘除四则运算就解决了。（附加题：大家能不能想出其他的方法来解决这个问题呢？）

再举一个例子。小强的爸爸买了100只羊，决定建一个长40米、宽15米的羊圈，面积正好600平方米，平均每头羊6平方米。可是他算了一下手里的材料只够围100米的篱笆，而计划中的羊圈周长有(40 + 15) × 2 = 110米。爸爸很为难，是再去买新材料，还是缩小羊圈面积呢？

这时小强说：“我有办法，不用增加材料，也不缩小面积。”爸爸听后不太相信，“世界上哪有这样好的事情？”小强信心十足地说：“把羊圈建成30 × 20 米，不就是面积正好600平方米，周长100米吗？”爸爸恍然大悟，非常高兴。请大家再想一想，如果进一步修改设计，把羊圈建成25 × 25 米，还是周长100米，这下面积就却成了625平方米！（附加题，如果不限制是长方形，你知道周长100米最大能围出多少面积吗？）

大家在平时学习数学的过程中，应该努力运用数学知识去解决日常生活中所遇到的问题。很多的实际问题，正是因为人类掌握了数学原理，才有了比较完满的解决方法。

数学中蕴含了深邃的美

数学不仅是有用的，更是非常美的，数学是一门精妙的艺术。应用是数学产生的源泉，而美学标准则是驱动数学发展的关键因素。

大家肯定听说过大物理学家伽利略、牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦的故事。他们所创立的物理学原理极大地改变了人类对大自然的理解和掌控能力，而他们用来描述这些物理学原理的数学工具几乎无一例外地具备了形式上的简洁和优美。难怪有数学家指出 “美观与高雅对数学概念的评价而言，甚至要比是否严格正确，是否可以应用更重要”。非常多的数学家毕生都在追求“数学之美”。

数学是艺术，而这种艺术美是抽象思维的创造物。我们对数学之美的鉴赏和体会，只有在学习数学、并且演算数学习题的过程中才能逐步领会到。置身其中，方能享受到那种和前辈数学家一起领略数学奇境的兴奋和满足。大家也许都听说过大数学家高斯小时候计算1 + 2 + 3 + 4 + …… + 100的故事。小高斯发现1 + 100 = 101，2 + 99 = 101, …… 这样成对的数一共有55对，因此很快得出了5050的答案。当我们掌握了等差级数的求和公式，这一大类问题就都有了快速的解法。这种站在巨人肩膀上的感觉真是爽啊。

数学在作为工具解决实际问题、满足人类物质需求的同时，也为人类提供了智力上的挑战和精神上的满足。人类对于数学之美的追求，是一种孜孜不倦地探求万物奥秘的好奇心。在数学中有一个古老的分支叫做“数论”。数论研究数字的规律，例如有一种数被称之为“完全数”，它们除了自身以外所有约数的和恰好等于本身。例如 6 = 1 + 2 + 3，28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14，等等。迄今为止，人类只发现了有限的几个完全数。很多数学家都曾尝试去追问它们的总数究竟是有限还是无限，尽管解决这个问题对于日常生活的实用价值很难估算。

数论中还有一个非常著名的问题至今未被人类智力完全征服，它就是哥德巴赫猜想。欧老师今天不展开说它具体是什么，但是希望有同学以后以爱美之心去追问它，甚至亲自去征服它。



数学的求真精神有益于塑造高尚的人品

数学是大自然秩序和规则的反映， 它追求推理严谨、结论正确。这也促使数学家在每一个具体的数学问题都上必须必须严格遵守公认的规则来解决问题。 在同一体系内部，数学真理是绝对的，因此学习和研究数学就是在追求一种抽象的、心灵上的“纯真”和一致性。数学家在工作中必须一丝不苟、完全忠实。

古希腊哲学家柏拉图早在两千年前就把“善”与数学等同起來，认为数学对于理想的探求在人类价值中占有无可或缺的地位。数学是人类描述和控制外部世界的工具，它帮助我们建立秩序和规则，为人类的福利和文明的昌盛做出了巨大的贡献，这就是数学的“善”。而学习和研究数学，就是在追求真理、追求善。

欧老师不想在这里刻意拔高数学，但是我相信同学们在学习数学的过程中所受到的训练对于塑造你们高尚的人格品质具有非凡的意义。谢谢大家。